Сумма квадратов чисел - это математическая операция, при которой каждое число из заданного набора возводится в квадрат, а затем все полученные значения складываются. Эта концепция широко применяется в алгебре, статистике и других разделах математики.
Содержание
Основные формулы суммы квадратов
| Тип последовательности | Формула |
| Первые n натуральных чисел | n(n+1)(2n+1)/6 |
| Первые n нечетных чисел | n(2n+1)(2n-1)/3 |
| Первые n четных чисел | 2n(n+1)(2n+1)/3 |
Примеры вычислений
- Сумма квадратов чисел от 1 до 3: 1² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14
- Сумма квадратов первых 5 натуральных чисел: 5×6×11/6 = 55
- Сумма квадратов трех нечетных чисел (1,3,5): 1 + 9 + 25 = 35
Применение суммы квадратов
- В статистике для расчета дисперсии и стандартного отклонения
- В геометрии для вычисления расстояний (теорема Пифагора)
- В физике при расчете энергии и других физических величин
- В машинном обучении для функции потерь
Интересные свойства
Сумма квадратов первых n натуральных чисел всегда равна квадрату суммы этих чисел минус сумма всех попарных произведений:
Σk² = (Σk)² - 2Σ(i<j)ij
